内容摘要:【摘要】广义积分∫+∞0dx(1+x2)(1+xα)总是收敛的,它的值与α无关 【关键词】广义积分;
【摘要】广义积分∫+∞0dx(1+x2)(1+xα)总是收敛的,它的值与α无关.
【关键词】广义积分;收敛
广义积分∫+∞0dx(1+x2)(1+xα)(α为任意常数)是一类非常有趣的积分,不管α取何值,它总是收敛的,并且都收敛于π4.也就是说,该广义积分的值与α无关.
对于这个广义积分,如果处理的方法不当,还是很难得到以上结论的.请看下面的处理方法.
∫+∞0dx(1+x2)(1+xα)
=∫10dx(1+x2)(1+xα)+∫+∞1dx(1+x2)(1+xα).(1)
而对于积分∫10dx(1+x2)(1+xα),
当令x=1t时,有:
x→0时,t→+∞;x→1时,t→1.
从而∫10dx(1+x2)(1+xα)=∫1+∞-1t2dt1+1t21+1tα
=∫1+∞-tαdt(1+t2)(1+tα)
=∫+∞1tαdt(1+t2)(1+tα)
=∫+∞1xαdx(1+x2)(1+xα).(2)
联合(1)和(2)就有:
∫+∞0dx(1+x2)(1+xα)
=∫+∞1xαdx(1+x2)(1+xα)+∫+∞1dx(1+x2)(1+xα)
=∫+∞1(xα+1)dx(1+x2)(1+xα)
=∫+∞1dx1+x2=arctanx|+∞1
=π2-π4
=π4.
由此可見,广义积分∫+∞0dx(1+x2)(1+xα)(α为任意常数),确实是不管α取何值,它们都收敛于π4.也就是说该广义积分的值与α无关.
【参考文献】
[1]朱双荣.经济数学[M].武汉:华中师范大学出版社,2007:126.
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