摘 要：本文介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。

关键词：极限；类型；求解方法

高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。

一、极限相关知识

（1）某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必须连续。

（2）了解左右极限的定义。

（3）极限的四则和乘方运算。

（4）区别数列极限与函数极限的不同之处。

（5）注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同B一起去绝对值。

二、极限的求法

1.代入法

在极限点处利用函数的连续性求极限

例1：求极限[limx→1](x+1)

【解】[limx→1](x+1)=2

2.约去零因子求极限

例2：求极限[limx→1x4-1x-1]（ 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）

【解】[x→1]表明[x与1]无限接近，但[x≠1]，所以[x-1]这一零因子可以约去。

[limx→1(x-1)(x+1)(x2+1)x-1=limx→1(x+1)(x2+1)=6]

[∞∞]型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

例3：求极限[limx→∞x3-x23x3+1]

【解】[limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13]

【注】（1） 一般分子分母同除[x]的最高次方；

（2） [limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b0=0 m>n∞m

3.分子（母）有理化求极限

例4：求极限[limx→+∞(x2+3-x2+1)]

【解】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

[limx→+∞(x2+3-x2+1)=limx→+∞(x2+3-x2+1)(x2+3+x2+1)x2+3+x2+1]

[=limx→+∞2x2+3+x2+1=0]

例5：求极限[limx→+∞(x2+3-x2+1)]

【解】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

[limx→+∞(x2+3-x2+1)=limx→+∞(x2+3-x2+1)(x2+3+x2+1)x2+3+x2+1]

[=limx→+∞2x2+3+x2+1=0]

例6：求极限[limx→01+tanx-1+sinxx3]

【解】[limx→01+tanx-1+sinxx3=limx→0tanx-sinxx31+tanx-1+sinx]

[=limx→011+tanx+1+sinxlimx→0tanx-sinxx3=12limx→0tanx-sinxx3=14]

本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

4.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数

 例7：求极限[limx→+∞](4x4+x2+1)/(x4+x3+1)

  【解】[limx→+∞] (4x4+x2+1)/(x4+x3+1)

=(4+1/x2+1/x4)/(1+1/x+1/x4)=4

5.比值法

  例8：[limx→+∞] an/n!( a>0)

【解】因为（an+1/（n+1）!）/ （an/n!）=a/（n+1） （ n->∞，a>0），

所以0<（an+1/（n+1）!）/ （an/n!）=a/（n+1）<1，

所以[limx→+∞]an/n!=0。

6.应用两个重要极限求极限

两个重要极限是[limx→0sinxx=1]和[limx→∞(1+1x)x=limn→∞(1+1n)n=limx→0(1+x)1x=e]，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例9：求极限[limx→+∞x+1x-1x]

【解】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑[+1X]，最后凑指数部分。

[limx→+∞x+1x-1x=limx→+∞1+2x-1x=limx→+∞1+1x-12x-121+2x-1122=e2]

7.用等价无穷小量代换求极限

（1）常见等价无穷小有：

当[x→0] 时,[x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~][ex-1],

[1-cosx~12x2,1+axb-1~abx]；

（2） 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；

（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例10：求极限[limx→0xln(1+x)1-cosx=]

【解】[limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0x∙x12x2=2].

例11：求极限[limx→0sinx-xtan3x]

【解】[limx→0sinx-xtan3x][=limx→0sinx-xx3=limx→0cosx-13x2==limx→0-12x23x2=-16]

8.用罗必塔法则求极限

例12：求极限[limx→0lncos2x-ln(1+sin2x)x2]

【解】[∞∞]或[00]型的极限,可通过罗必塔法则来求。

[limx→0lncos2x-ln(1+sin2x)x2][=limx→0-2sin2xcos2x-sin2x1+sin2x2x]

[=limx→0sin2x2x-2cos2x-11+sin2x=-3]

【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例13：设函数f(x)连续，且[f(0)≠0]，求极限[limx→00x(x-t)f(t)dtx0xf(x-t)dt.]

【解】 由于[0xf(x-t)dt=x-t=ux0f(u)(-du)=0xf(u)du],于是

[limx→00x(x-t)f(t)dtx0xf(x-t)dt=limx→0x0xf(t)dt-0xtf(t)dtx0xf(u)du] =[limx→00xf(t)dt+xf(x)-xf(x)0xf(u)du+xf(x)]=[limx→00xf(t)dt0xf(u)du+xf(x)]

=[limx→00xf(t)dtx0xf(u)dux+f(x)]=[f(0)f(0)+f(0)=12.]

9.用对数恒等式求[limf(x)g(x)]极限

例14：极限[limx→0[1+ln(1+x)]2x]

【解】[limx→0[1+ln(1+x)]2x]=[limx→0e2xln[1+ln(1+x)]]=[elimx→02ln[1+ln(1+x)]x=elimx→02ln(1+x)x=e2.]

【注】对于[1∞]型未定式[limf(x)g(x)]的极限，也可用公式

[limf(x)g(x)][(1∞)]=[elim(f(x)-1)g(x)]

因为

[limf(x)g(x)=elimg(x)ln(f(x))=elimg(x)ln(1+f(x)-1)=][elim(f(x)-1)g(x)]

例15：求极限[limx→01x32+cosx3x-1].

【解1】 原式[=limx→0exln2+cosx3-1x3][=limx→0ln2+cosx3x2]

[=limx→0ln（2+cosx）-ln3x2][=limx→012+cosx∙（-sinx）2x]

[=-12limx→012+cosx∙sinxx=-16]

【解2】 原式[=limx→0exln2+cosx3-1x3][=limx→0ln2+cosx3x2]

10.利用泰勒公式

  例16：求极限[limx→0](sinx-xcosx)/sinx3

 【解】[limx→0] (sinx-xcosx)/sinx3

=[limx→0](x-x3/3!+o(x3)-x+x2/2!-0(x3))/x3

   =[limx→0] (x3/3+o(x3))/ x3

=1/3

11.数列极限转化成函数极限求解

例17：极限[limn→∞nsin1nn2]

【解】这是[1∞]形式的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

考虑辅助极限[limx→+∞xsin1xx2=limx→+∞ex2xsin1x-1=limy→0+e1y21ysiny-1=e-16]

所以，[limn→∞nsin1nn2=e-16]

n项和数列极限问题。

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法：（1）用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；（2）利用两边夹法则求极限。

例18：求极限[limn→∞1n2+12+1n2+22+…+1n2+n2]

【解】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把[f(x)]看成［0,1］定积分。[limn→∞1nf1n+f2n+…+fnn= 0 1f(x)dx]

原式＝[limn→∞1n11+1n2+11+2n2+…+11+nn2]

[= 0 111+x2dx=-12ln2-12+1]

例19：极限[limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n]

【解】（1）该题遇上一题类似，但是不能凑成[limn→∞1nf1n+f2n+…+fnn]的形式，因而用两边夹法则求解；

（2）两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

[limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n]

因为[nn2+n≤1n2+1+1n2+2+…+1n2+n≤nn2+1]

又[limn→∞nn2+n][=limn→∞nn2+1=1]

所以[limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n]＝１

12.利用单调有界必有极限来求

例20：证明：数列x1＝2^0.5 ，x（n+1）=（2+xn）^0.5 （n=1，2， ……）存在极限，并求出极限值

【解】由归纳法x1=√2＜2，设xn＜2，则x(n+1)=√2+xn＜√（2+2）=2，∴0＜xn＜2，xn有 界.∵x(n+1)=√（2+xn）＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn，∴xn有界，∴xn有极限a，在x(n+1)= （2+xn）^0.5 两边取极限得：a∧2-a-2=0，a=2，（a=-1舍）。

此外，还可以利用变量替换求极限，利用夹逼准则求极限，利用级数收敛的必要条件求极限，利用幂级数的和函数求极限等。

参考文献：

[1]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程（上册）[M].北京：高等教育出版社，1999

[2]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程（下册）[M].北京：高等教育出版社，1999 [3]王昆扬.数学分析专题研究[M].北京：高等教育出版社，2010 

[4]李成章，黄玉民.数学分析[M].北京：科学出版社，2011.5. 

[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2011，5.