摘 要 用图论的观点，例举一些数学例子，通过画树形图比较直观的分析解决数学问题。

关键词 树形图 数学 应用

中图分类号：G634.6 文献标识码：A

图论是应用数学的一个重要分支，而树形图又是图论中一类最简单而又最重要的图。

在数学解题中，如果能够挖掘题设条件中与树形有关的因素，利用树形图进行铺路搭桥，有时会受到意想不到的效果。下面浅谈树形图在数学解题中的应用

1树形图在投资问题中的应用

某公司有1千万元资金和14万平方米土地准备投资搞项目，可供选择的项目有三项，A项目需要资金7百万元，6万平方米土地，年收益为4百万元；B需要资金5百万元，8万平方米土地，年收益为2百万元；C需要资金2百万元，4万平方米土地，年收益为3百万元；问搞哪几个项目可使年收益最高？

如果用，，等于1或0分别表示项目A、B、C搞或不搞，那么上述问题就归结为求，，和的值，它们满足下列条件：{7+5+2≤10（1） 6+8+4≤10（2） ，，=0或1（3）}并使4+3+3取得最大值（其中（1）和（2）分别表示所投资的项目所需的资金和土地不超过公司所拥有的资金的土地，（4）式表示所投资项目的年收益。

我们用树形图来表示（，，）可取的23=8种状态

图中最右端的两个分支代入，则7+5=7+5>12，此两组解不满足条件，故放弃右边分支。

接着=1，=0，=1这支，代入（1）和（2）式，条件都满足，是一个可行解。由于该分支是一个可行解，它左边所示的分支的，的值相同，只是的值改为0，显然也满足条件。因此其也是一个可行解。显然，右边分支所示的解的年收益高，故可以将左边分支舍弃。

同样，可知=0，=1，=1是可行解，将它左边所示的3个分支也因年收益较低而予以舍弃。

比较两组解的年收益，前者收益大于后者，应选择前者，即投资项目A和C，年收益最大，每年收益7百万元。

树形图是图论“树”的概念直观化。在组合数学中有许多问题可以用树作为数学模型，把各种状态的搜索过程形象地表示出来，特别在状态总数很大时更具优越性。

2树形图在排列组合问题中的应用

甲、乙两点之间有5条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等过7的方法共有

A 4种 B 5种 C 6种 D 7种

分析：本题结果数字不大，可用树形图法。1，2，3，4选其中三个和等于7。

因为线路不同所数字表示的也不同，分别标记为A1，B1，C2，D3，E4。则根据题意数形图如下

由图易知，符合题意的传球方式共有5种，即选择B。

树形图的优点时能够直观地把各种结果既无重复，又无遗漏地表示出来，不重、不漏、一目了然。

3树形图在概率问题中地应用

设某种电子玩具按下按钮后，会出现红灯或绿灯，已知按钮第一次按下后，出现红灯和出现绿灯的概率都是。从按钮第二次按下起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯、绿灯的概率分别是，；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯、绿灯的概率分别是，，试问：

（1） 三次按下中出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？

（2） 红、绿灯交替发光的概率是多少？

分析：

由上图可知：（1）三次按下中，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率是€讇？€讇？€讇？

（2）红、绿灯交替出现的概率是€讇？€讇？

本题用树形图来计算更加一目了然。图示中每一调路径清楚地表示了三次球出现的可能情况。

4树形图在最短路径问题中地应用

有一个正方体ABCD-EFGH的铁丝架，把它的侧棱中点I，J，K，L也用铁丝依次连上。现在有一只蚂蚁想沿着铁丝从A点爬倒G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来。

分析：只需从A点到各点的最短路线用树形图表示出来

从而找出从A到G的12条最短路径：AIEFG， ABJFG， AIJFG， AIEHG， ADLHG， AILHG， ABCKG， ADCKG， ADLKG， AILKG， ABJKG， AIJKG。

数学题目及实际问题中常要求找的最短路径，常借助树形图来寻找，求解。

学会使用简单的树形图，在数学问题前，我们不仅在分析问题上开启了新视角，还在解决问题中开辟了一条崭新的道路。因此，在学习数学时，必须把数学看作一个统一的整体，逐步建立数学知识之间相互联系的网络结构，以至能在同一实际问题或同一数学概念的不同表示之间进行转化和灵活应用，从而提高自己的数学思想境界和解决问题的能力。