摘要：针对复杂背景下的空间背景抑制问题，提出基于权值核范数最小化理论的单帧红外图像空域背景杂波抑制算法。首先利用红外图像的非局部相似性质，将具有相似性的图像块向量化并聚合成低秩矩阵，然后对所得的低秩矩阵的奇异值赋予不同的权值，最后利用加权核范数最小化将背景抑制问题转化为优化问题进行求解。预测的背景在满足对观测图像数据依赖的同时，能够保留背景图像的边缘信息，有效降低复杂背景灰度值起伏较大处的虚警。通过仿真实验验证了算法的可行性和有效性，表明其背景抑制性能较传统算法有较大提高。

关键词：非局部相似 加权核范数 背景抑制 红外小目标

中图分类号：TN97 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2015）12-0000-00

Abstract：An algorithm of spatial background clutter suppression of infrared image based on weighted nuclear norm minimization theory is proposed for small target detection in complicated background. Firstly，by exploiting the image nonlocal self-similarity，the nonlocal self-similar image patch vectors are stacked into a low rank matrix.Then， the singular values of low rank matrix are assigned different weights.Finally， by using weighted nuclear norm minimization converting it to an optimization problem. While the data fidelity to observed image holds， the background estimate can still maintain edges， effectively reducing false-alarm where gray level varies dramatically in complicated background. Feasibility and effectiveness of the algorithm is verified by simulation experiments. Analysis of the result shows that background suppression performance is remarkably improved compared to traditional method.

Key words： Nonlocal self-similarity；Weighted nuclear norm； Background suppression； Infrared small target

红外弱小目标检测技术被广泛用于军事国防领域。由于目标到红外传感器距离很远，在视场中目标通常为点状或斑状的小目标，缺乏形状、纹理等信息，且由于背景杂波和大气传输衰减的影响，造成红外探测器形成的图像信噪比较低，目标易淹没在背景杂波之中，给检测带来了困难。因此，有效的抑制背景杂波是复杂背景环境下的红外弱小目标检测的一个关键环节。

传统的单帧背景抑制算法如：均值滤波、中值滤波、tophat变换等虽然能够起到一定的作用但是其背景抑制能力十分有限。均值滤波和中值滤波是对局部区域数据不加区分的进行处理，会造成虚警，而且会很显著的削弱目标的灰度值，这将严重影响后续的处理。tophat变换是利用结构元素去度量图像中相应的形态，对背景杂波和噪声能够起到明显的抑制作用，但是这种方法依赖于结构元素的选取，对于缺少形状信息的弱小目标难以进行有效的背景抑制。传统滤波算法没有充分利用图像的先验信息而是只利用了图像的灰度信息，造成难以有效区分目标和背景。为了充分利用图像的先验信息，考虑引入图像的非局部相似（NNS）性[1]，非局部相似性是指在图像不同位置处的图像子块表现出很强的相似性，这是一般自然图像所固有的性质。在本文中将具有非局部相似性的图像块向量化并组合成一个矩阵，很显然聚合成的矩阵为低秩矩阵，然后采用低秩矩阵恢复的加权核范数最小化（WNNM）算法[2]来抑制背景杂波。

1图像的非局部相似性与核范数最小化

1.1图像的非局部相似性

对于自然图像而言，图像中的像素之间一般都具有某种联系，而不是随机组合的。以某个像素点为中心的图像块可能与图像中其他部位的图像块相似，使得处于图像中不同位置处的像素表现出较强的相关性，常常称为图像的非局部相似性。如图1所示a，b，c内部的图像块就具有明显的非局部相似性。目前，基于图像的非局部相似性被广泛用于图像的纹理合成、去噪、复原等领域。

对于图像中的图像块，可以利用多种匹配方法在图像中寻找对应的非局部相似图像块，在本文中采用文献[1]中的块匹配方法在完成这个步骤。

图 1 一副典型的自然图像

1.2矩阵核范数最小化

近年来基于矩阵低秩恢复理论被广泛用于视频监控、语义检索、协同滤波等领域。假定样本矩阵 满足 ，其中 为低秩矩阵（即： ）， 为稀疏矩阵。从受到污染的观测矩阵 中恢复出低秩矩阵 的数学描述为：

（1）

这里， ： 是到指标集 的投影

（2）

一般来说，精确的恢复要求低秩矩阵 满足严格的非相干性假设，而对于一般的矩阵而言很难满足这个条件。因而，对于不满足严格的非相干性条件的低秩矩阵只能实现近似逼近[4]，矩阵核范数最小化（NNM）作为一种有效的低秩矩阵逼近方法得到了广泛的应用。矩阵 的核范数 定义为奇异值的和。文献[4]提出了基于NNM的奇异值阈值化方法并引入了软阈值函数。软阈值函数定义如下：

（3）

这里， 为 的奇异值分解， 为低秩部分， 为稀疏部分。软阈值 ，对于对角矩阵 的对角线上的每个元素 有，

（4）

对于每个软阈值 和矩阵 有如下结论：

（5）

由（5）可以得到低秩恢复问题（1）的解为：

（6）

其中 为观测矩阵 的奇异值分解。具体证明过程可以参考文献[3]。

2基于WNNM的背景抑制算法

2.1权值核范数最小化

在前面的核范数最小化过程中矩阵每个奇异值的权重相等。按照矩阵范数理论，奇异值与矩阵的F范数密切相关。由矩阵理论可知：

（7）

式中， 为矩阵 的各个元素， 为矩阵 的奇异值。

由（7）式可以看出，奇异值越大其对应的成分占矩阵能量的比重就越大，奇异值越小比重就越小。在图像中大的奇异值对应图像的主要成分。因此对每个奇异值赋予相同的权重并没有充分利用其先验信息。因此在本文中考虑在核范数最小化过程中对每个奇异值赋予不同的权值，由于不同的奇异值具有不同的重要程度，因此对每个奇异值赋予不同的权重更符合实际情况。权值核范数最小化（WNNM）已被用于图像去噪、系统辨识等领域。在文献[2]引入了WNNM方法并给出了矩阵 的加权核范数的定义：

（8）

这里 且 为矩阵 的特征值 相应的权值。基于加权核范数最小化问题可表示为：

（9）

对于任意的 ， 的奇异值分解为 ，文献[2]证明了权值大小顺序在不同情况下问题（8）的解。经过奇异值分解后矩阵的奇异值按照由大到小的顺序排列，如前文所述矩阵大的奇异值对应于矩阵的主要部分，因此在估计背景时应该尽量保留大的奇异值，对大的奇异值赋予小的权重，所以在本文中为了更好的预测背景采用非降序（ ）的情况，在这种情况下（8）的解可以记作：

（10）

式中， 是对角矩阵 在参数 下的软阈值函数与（4）式的定义类似。可以看到加权核范数最小化是前面的矩阵核范数最小化的更一般情况。

2.2基于WNNM算法的背景抑制

一般而言，红外图像的观测模型为：

（11）

式中， 为观测到的红外图像， 为背景图像， 为目标， 为零均值的高斯噪声。

如图2为典型的背景抑制过程，首先利用背景的相关性进行背景预测，然后观测图像 与预测图像 相减得到背景抑制的残差图像。为了提高目标检测概率要在准确的估计背景、消除噪声的同时要尽可能保留目标的能量。

图 2 背景抑制通用处理流程

利用块匹配算法找到各组相似图像块后，将每组的图像块向量化并聚合成一个矩阵，则聚合成的矩阵必定是低秩矩阵，可以采用WNNM算法来进行逼近。

在探测图像 中，对每一个局部图像块，在探测图像中利用块匹配算法找到非局部相似的图像块，并将这些非局部图像块向量化然后聚合形成一个矩阵，记作 。很明显对于 其中也包括低秩部分和稀疏部分，低秩部分由原背景部分提供，稀疏部分由原目标和噪声提供。

对于每个 的低秩部分的 可以采用如上所述的权值核范数最小化方法来从 中恢复出 ，然后将所有的估计图像聚合成一整幅图像即可得到预测的背景图像 ，最后将观测图像与估计的背景图像作差分即可得到抑制背景后的残差图像。为了能够使恢复出的矩阵对于噪声更鲁棒，在消除噪声的同时估计出完整的背景。利用归一化系数 来归一化 项，因此得到如下表达式：

（12）

接下来需要确定权向量 ，为了在应用中为了消除噪声影响和更好的估计背景，大的奇异值应该被减弱，因此对于由非局部相似图像块聚合成的矩阵 ，第 个奇异值对应的权值应该与奇异值的大小成反比，于是令：

（13）

这里 为 中相似图像块的数量， 为非局部相似图像块聚合成矩阵 的奇异值的初始估计值， 为一个很小的数值，避免实际计算中除数为0。

利用WNNM[2]具体抑制背景杂波方法如下：

输入：观测图像

输出：估计的背景图像 ，抑制背景后的目标图像

Step1：初始化。 = ， =

for k=1：K

Step2：迭代正则化[4]

Step3：对于在图像 中的每个图像块 ，利用块匹配算法[1]找到相似块并组合成

Step4：对于每个 估计其权矢量 ，并作奇异值分解

Step5：得到对应 的估计值 ，并将 重新组织成背景图像

End for

Step6：将观测图像与最终的估计背景图像 相减得到背景抑制后的目标图像

3仿真实验与分析

为了验证算法的有效性，文本选取了几幅由代表性的红外仿真图像，并将算法的结果与中值滤波和均值滤波进行比较。在仿真实验中 取值为0.1，图像块的大小取为 ， 的取值为10，经过多次实验表明 增加到14以后背景抑制没有显著提高，因此将 取为14。

图2包含了两幅典型的红外探测图像，分别为天空和海天背景，分别包含三个和两个小目标，从抑制结果可以看出，所提算法能够很好的抑制背景，凸出目标。在归一化图像中可以看出只需简单阈值操作即可检测出目标。

（a）原始观测图像

（b）观测图像的三维显示图

（c）背景抑制后的图像

（c）背景抑制后图像的三维显示图

图 3 不同场景下的背景抑制结果

为了进一步验证所提出算法的性能，将本文所提出算法与均值滤波和中值滤波两种常见算法进行了比较，各背景抑制算法的结果如图3所示。图3（a）是原始图像的三维视图，包含有5个目标，从三维视图可以看出，原始图像的背景具有较明显的起伏，而且包含有噪声，这对背景抑制造成了较大困难。从抑制结果来看，本文的方法在云层起伏较大的情况下依然能够有效的抑制背景，凸出目标，而且能够降低云层边缘的虚警概率。虽然背景中仍然存在杂波，但是其强度都不及目标，可以在后续的阈值分割被很好的去除。相较之下，均值滤波和中值滤波后的残差图像中只存在云层边缘所造成的不连续的杂波，目标已经被滤除，不能有效的检出目标。

（a）原始观测图像三维视图（b）本文算法抑制图像

（c）中值滤波结果（d）均值滤波结果

图 4 不同算法的背景抑制效果

为了进一步定量的比较各种背景抑制算法的性能，选择局部信杂比（LSCR）和局部信杂比增益（LSCRG）来对三种不同算法进行客观的分析和比较。LSCR的定义如下：

（14）

其中 表示目标区域内像素灰度的均值， 和 表示目标邻域背景区域内的素灰度的均值和标准差。较大的LSNR表明该区域内目标相对于背景杂波而言更显著，表示背景抑制效果更好。LSNRG的定义如下：

（15）

其中 和 分别是在进行背景抑制前和背景抑制后的目标区域的 。较大的 表明对 的提升越明显，采用的背景抑制算法对背景抑制能力越强。表1显示了不同背景抑制算法对图3（a）进行抑制后的 和 的值。在本文中目标区域大小为 ，其背景区域大小设置为 。从表1可以看出，在三种不同的背景抑制算法中，本文所提出的算法的 和 的值均为最大，与前面主观评价结果一致，表明本文算法性能达到最优。

表 1 不同算法对图3（a）背景抑制后的LSCR和LSCRG

目标LSCRLSCRG

均值滤波中值滤波本文算法均值滤波中值滤波本文算法

11.431.3114.991.181.313.89

21.131.0812.731.151.102.16

31.221.2515.870.931.243.77

41.311.4210.851.270.984.52

51.471.5910.701.351.336.01

4结语

本文针对弱小目标检测过程中的背景抑制问题采用了图像的非局部相似性和矩阵的低秩理论来对观测图像进行处理。仿真结果表明本文的算法能够充分利用图像的先验信息，对噪声具有较好的鲁棒性，背景抑制性能优于传统算法，能在低对比度、较复杂的杂波条件下对弱小目标的能量进行保留，有效降低了云层边缘等灰度值变化较大处产生虚警的概率，有利于提高残差图像中的信噪比和目标检测概率。分析表明基于图像非局部相似和权值核范数最小化能够合理的估计起伏背景，对背景杂波能够有效的抑制，便于后续的检测跟踪。

参考文献

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