摘 要 对于每个接触数学的人来说都少不了对实数的认识，可以说实数与我们的生活息息相关，从小学到初高中，我们所学的数学知识基本上都是在实数的基础上建立起来的，而数学的发展也离不开实数理论的支撑，可以肯定的是对实数的研究是我们在数学中另辟蹊径的一种有效方法，说到实数的完备性，很多人可能会首先想到和实数完备性有关的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、以及cauchy收敛准则，虽然这六个定理是相互等价的，但我们可以发现其性质之间的转化和联系，那么相对于n维欧氏空间而言，是否它也具备一定的完备性；以及相对于实数的这六条基本性质而言，它们在欧氏空间以及其他像具有拓扑的空间又将有何种特质；以及如何将它们加以推广，这是我们所要进行思考和研究的问题。由于实数完备性定理的证明在数学分析中给出了相应的解答，在此我们就其证明过程则不做过多解释，而将重点放在实数完备性定理对我们的启发以及猜想上。

关键词 确界原理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 聚点定理 cauchy收敛准则

中图分类号：Ol41.2 文献标识码：A

1确界原理

我们知道对于一维欧氏空间而言，它里面的元素也就是我们的实数，实数的完备性定理的第一条就是确界原理，即为有上下界的数集必有上下确界，那么我们在二维欧式空间中来看，对于确界原理而言，由于我们考虑的是平面点集所构成的区域，所以在刻画二维欧式空间的诸多性质时，我们自然的引入了距离，也就是说我们没有单纯的像一维欧氏空间那样用实数自身的大小来刻画其性质，而是借助别的东西来反映其本质，但是我们发现确界定理到了这里似乎有所变化，我们会常去刻画某一区域的上界，似乎很少去谈论它的下界，在此必须引入平面区域有界的概念，既存在的一个邻域U，使得M包含与U，则M有界，那么我们就会考虑确界原理是否在二维欧氏空间里是成立的，显然我们知道在二维欧氏空间里有上界的数集必定会存在上确界，supM=U（x， ）， =inf{ "|U（x， "） M}，而在这里我们一般不讨论一个区域的下界，所以确界原理在二维欧氏空间里只能叙述为有上界的区域必有上确界，这样的话我们可以将欧氏空间进行推广，由于欧氏空间是度量空间，所以在它上面定义的距离是用来衡量上确界的一个重要指标，所以我们同样可以将确界原理像二维欧氏空间那样推广到n维欧氏空间，从这一特征的推广过程我们可以发现当我们刻画实数的上确界的时候很明显用到了实数的度量，而n维欧氏空间上面的度量则是两实数距离的普通意义下的推广，所以这也就保证了实数的确界原理可以推广到n维欧氏空间当中，这就像在两个拓扑空间中，只要在它们中间存在拓扑映射，如果在此映射下某一性质保持不变则称之为拓扑性质，显然我们也可以称确界原理为欧氏空间的拓扑性质。我们也发现在离散度量空间当中任意两点间的距离d（x，y）≤1，则该数集显然满足确界原理，上确界为d（x，y）=1的点，而对于C[a，b]，在它上面定义度量d（x，y）=max|x（t）y（t）|，如果我们能保证d（x，y）<+∞，则它有上确界，也就是说只要我们取x（t），y（t）∈C[a，b]且x（t），y（t）是有界函数则它一定有界，从而有上确界。可以发现确界原理的应用必须要依赖于刻画数集有无界的东西也就是我们定义在它上面的度量。

2单调有界定理

通过将实数所满足的确界原理在欧氏空间加以推广后，我们会想到实数所满足的单调有界定理是否依然可以推广下去，结论是显然的，在实数域中刻画单调性依据的是实数的大小，而在n维欧氏空间当中n≥2，由于可以将其中的元素看做向量，则其大小可以借助于向量的模长去刻画，Rn为n维欧氏空间，存在它当中的点列xm=（x1（m），x2（m），x3（m），）…xn（m）），m=1，2，…，x=（，，…，）∈Rn，不难证明{xm}按欧氏距离收收敛于x的充要条件为对于每个1≤i≤n，有，假设单调有界定理成立，我们取定数列为二维欧氏空间的点集，，，，显然它是单调递增的数列，且它是有界的，因为n<∞，但是由于该数列是一些离散的点，所以它没有办法收敛与某一点，也就是说在二维欧氏空间中的数列有界并且单调不一定收敛与某一点，显然如果在n维欧氏空间n>2中所取的点列是离散的一些点，即使单调且有界，也未必会收敛与一点，所以往往离散的区域里的点列其收敛性是比较差的，在刻画其收敛的时候我们总是致力于各点之间的稠密程度，这就联想到在一维以上的欧氏空间中，邻域的加入为他众多性质的建立奠定了基础，可以肯定的是我们所研究的对象的维数增加，则必然会有更多的外在因素掺杂进去，就会有更多的东西去破坏我们原有基础的性质，而就必然需要我们去制约这一现象，也就是加入更多条件，使其更好的遵守原有的性质。

3区间套定理

实数当中建立区间套的性质似乎有一种低维向高维扩展的趋势，从定理我们可以看出有且只有一个点属于所有区间套中的区间，我们似乎会想到是否这若干的区间套可以由这一点所生成呢？我想结论是显然的，在自然界中，一个普遍的规律就是我们扩充某一事物往往只需少许条件就可完成，相对于将一件事物细化则比较简单，那么就拿区间套定理而言，定理实际描述的是具有区间套性质的区间总是交于唯一的一个点，但是纵观定理的内容我们会发现，如果随便拿来一点，然后按照区间套的特点在已给出的这一点的基礎上去构造区间套，显然这一相对过程可以帮助我们更好的理解该定理，通过这一认识，我们或许可以对所学的收敛等性质有一个更加全面深刻的认识。

当我们将区间套定理扩展到二维欧氏空间时它又被称为闭域套定理，那么我们可以接着前面的陈述得出，在n维欧氏空间，n>2时我们同样可以找一点x=（，，3，…，），使得按照闭域套的特点以此点为基础进行扩充，得到这些闭域必定交于该点，显然反过来，我们就能得到闭域套定理也将适用于高维欧氏空间，通过这样的推理我们会发现，在数学乃至各门学科，有些性质它们往往是相对的，过程的起点和终点往往是可以发生转变的，只要我们所研究的性质有条理，逻辑性强，从它的反面去观察，往往会有意想不到的收获。

4有限覆盖定理

当谈论到实数的有限覆盖定理时，我们很自然的知道，对于一个闭区间我们总能找到无限个开区间来覆盖该区间（将闭区间中所有的点的任意开邻域并起来显然覆盖此闭区间），但是有限覆盖定理告诉我们总可以在这无限个开区间中找到有限个开区间来覆盖此闭区间，我们可以先简单的思考一个逻辑性问题，假如给出一个闭区间，显然根据实函中所学的知识我们知道该闭区间是一个具有连续基数c的不可数集合，当然它里面包含无限多个点，若对于x∈[1，4]以及U（X； ），它是x的开邻域，且x∈[1，4]，则显然这无穷多个开邻域可以覆盖闭区间[1，4]，所以说，任给闭区间总能找到无限多个开区间覆盖此闭区间，但是如何从这无限个开区间中找出有限个开区间覆盖闭区间则我们首先需要知道，一个集合M，必有M M，由于M是一个闭集，在用无限个开区间覆盖闭区间时，由于已知区间是闭区间记为A，则A=A，所以对于x∈A，x的邻域U（x； ），U∩A≠ 所以在我们找的无限个开邻域当中总会包含A中的除x外的点，但这并不能证明将某些开邻域合并就能成为有限个开邻域，假设找不到有限个开区间覆盖A，则我们在闭区间A和它的无限多个开邻域之间建立映射 ∶x→U（x； ），该映射可以直观反映出任何一个闭区间A，总可以被无限多个开邻域覆盖，但是如何将其归类为有限个，则是用反证法借助区间套定理来论证，那么当将研究对象设定到n维欧氏空间中，由于区间套定理可以推广到其中，所以我们的论证过程就可以类比实数中该定理的论证，当然也就适用于n维欧氏空间.则我们可以得到这样一个结論，当我们要试图证明某一性质适用于所要研究的对象时，如果类比到满足这一性质的空间在证明该定理时所用到的性质同样适用于该对象，则我们可以得出在与之相类比的对象所满足的这一性质同样满足我们最初研究的对象。

5聚点定理

谈到实数的聚点定理，我们首先会想到聚点的众多刻画形式，极限形式：对于点列{xn}，如果xn→x（n→+∞），则称x为聚点，拓扑形式：x为集合A的聚点，则有x的任则有x的任意领域U，U∩A/{x}≠ ，在拓扑学中我们知道欧氏空间是拓扑空间，而我们知道对于任意集合A，A是所有A的聚点组成的集合，且A A，这就是说明对于任何点集不管它是有限点集还是无限点集，只要它非空，则它的闭包即非空，所以它至少存在一个聚点，所以，我们可以大胆的将这一定理应用在n维欧氏空间，乃至拓扑空间，相对于聚点这一普遍存在于集合论中的一员，可以说它使我们认识到集合与点之间所存在的联系，聚点定理成立的条件是有界无限点集，但在刚才的叙述中我们发现在拓扑空间中只要集合非空，则必存在至少一个聚点，又因为欧氏空间就是拓扑空间，所以我们的聚点定理在n维欧氏空间中，就可以叙述为非空点集必存在至少一个聚点。

6 cauchy收敛准则

在了解了实数完备性定理的前五个定理后，最后一个基本定理cauchy收敛准则，成为我们论证数列收敛的有力工具，它刻画了数列收敛的实质是从某一项以后的任意两项可以任意接近，也就是说从某一项以后的所有项都呈现出高度集中的特性，可以肯定的是当我们在刻画离散点列收敛时，不管它是在一维欧氏空间还是一维以上的欧氏空间，柯西收敛准则总是成立的，因为其实质就是刻画点与点之间的相对位置无限接近的时候的收敛性质，当我们的研究对象不是单纯的点列而是连续分块区域所构成的集列时，就不能片面的去用这一定理，所以这一定理在进行推广的过程中我们要弄清它所研究的对象和在它上面的度量是否和普通定义的距离有异曲同工之妙在n维欧式空间中取点列{xn}，对于 >0，>0，n，m>N，有|xnxm|< ，通过这一点就可以发现实数完备性和连续性是等价的概念，从实数连续性出发，我们在它上面才建立了诸多性质，需要我们知道的一点是完备概念其意义在于我们给定的任意实数列如果收敛，则必收敛到实数，而cauchy收敛准则则给出了刻画收敛的又一方法，如果我们推广该定理到高维欧氏空间，同样可以应用它去刻画收敛，而在这里则反映到坐标分量的收敛上。在度量空间意义下则将这一准则应用于柯西点列的定义上，不同于分析学的是，在泛函中收敛点列却不同于柯西点列，这就明显区别于分析中用柯西收敛准则去刻画收敛点列。那么当我们将对象转移到拓扑空间中时，由于拓扑空间的收敛和度量空间有很大区别、所以不能直接将柯西收敛准则推广过去，由于柯西收敛准则里涉及到距离，要想把它推广到拓扑空间也必须限定在具有度量拓扑的拓扑空间上，由于拓扑空间的主要性质是由开集刻画的，所以如果在分析学的映射和拓扑学的开集之间建立某种关系，有可能在分析学中诸多用极限刻画的性质可以推广到拓扑学中。

通过上述对实数基本定理认识的阐述我们可以得出这样一个结论，对于研究不同对象所具有同一性质时，我们总可以想方设法去加入某些条件到该对象中使其具有该性质，不同的只是使用的环境受到限制，而性质本身所具有的实质性问题则未发生改变。可以认清的是数学思想在我们学习过程中极其重要，由于事物之间所具有的普遍联系，概念，性质的推广可以说是一种很自然的事情，然而在此背景之下则需要我们去深入了解实质性的东西，可以说猜想并不是不严谨的数学心路历程，它只是我们对真理深入思考后的自我解答。

参考文献

[1] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.